数字图像的表示和度量

遥感图像模型

陆地遥感图像模型

遥感图像可以表示为某一时刻t，在不同波长和不同极化(偏振)方向p上所收集到的位于坐标(x,y)的目标物的电磁波辐射能量

\begin{equation}
L(x, y ; t, \lambda, p)=[1-\beta(x, y ; t, \lambda, p)] \cdot E(\lambda)+\beta(x, y ; t, \lambda, p) \cdot I(x, y ; t, \lambda)
\text { 图像上的能量 = 目标发射的能量 } +\text { 目标反射的能量 }
\end{equation}

可见光和红外部分，目标发射的能量＝0

对于单幅图像，t,p, λ可以认为是常数

\begin{equation}
\mathrm{L}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{t})=\beta(x, y ; t) . I(x, y)
\end{equation}

L ：遥感图像
Β：反射率
E：黑体的波谱发射能力
I：入射的辐射量
X,y：坐标
t ： 摄像时间
λ： 波长
p ： 极化偏振方向

水色遥感图像模型

在水色遥感中，图像记录的是水体中光学活性物质的后向散射信息和吸收信息的综合。
这些物质包括：可溶性有机物CDOM；悬浮物，包括泥沙碎屑和生物体碎屑；浮游植物，主要是藻类颗粒物等。
水色遥感中与遥感图像反射率对应的概念是遥感反射率或遥感反射比(remote sensing reflectance)，表达式为

\begin{equation}
R_{\mathrm{rs}}=Q f \frac{b_{b}}{a+b_{b}}
\end{equation}

式中，0、f分别为与现场环境有关的因素值；a是水体中光学活性物质的总吸收；bb是水体中光学活性物质的总后向散射。

大气遥感图像模型

大气遥感主要利用图像的吸收光谱特性来研究大气性质和大气廓线。
通常，大气遥感测量的物理量不可能用遥感手段直接测量，所以实际上是通过测量大气的散射、吸收及辐射的光谱后推算出来的。测量利用的电磁波谱范围很宽，从紫外、可见、红外等光学领域一直扩展到微波、毫米波等无线电波领域。

多源图像

\begin{equation}
L(x, y ; t, \lambda, p)
\end{equation}

在同一地区的随时间、波段和极化方向不同而获得的多个图像的组合。

• 多波段图像
• 多时相图像
• 多极化图像

遥感图像的数字表示

图像的确定性表示

矩阵表示
向量表示

图像的矩阵表示

图像可以表示为一个矩阵，若水平方向有N个像素，垂直方向有M个像素，则图像是M*N个像素的矩阵。其中，M、N为正整数。

\begin{equation}
F=\left[\begin{array}{cccc}
f(0,0) & f(0,1) & \cdots & f(0, n-1) \
f(1,0) & f(1,1) & \cdots & f(1, n-1) \
\vdots & \vdots & & \vdots \
f(m-1,0) & f(m-1,1) & \cdots & f(m-1, n-1)
\end{array}\right]
\end{equation}

二值图像

传统上，习惯上用1表示黑色，0表示白色。
软件中，作为掩膜掉的图像内容为0，用黑色表示

灰度图像

对应8位量化
像素值0，255

彩色图像

每个像素由红、绿、蓝(分别用表示)三原色构成的图像

\begin{equation}
R=\left[\begin{array}{ccc}
255 & 240 & 240 \
255 & 0 & 80 \
255 & 0 & 0
\end{array}\right] \quad G=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 160 & 80 \
255 & 255 & 160 \
0 & 255 & 0
\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 80 & 160 \
0 & 0 & 240 \
255 & 255 & 255
\end{array}\right]
\end{equation}

图像的数字表示

图像	数字化后描述形式	备注
二值图像	f（X，Y）=1或0	文字、线条图、指纹等
黑白图像	0≤f（X，Y）≤2n-1	黑白图像，一般n=6~8
彩色图像	|fi（X，Y）| i=R，G，B	以三基色表示的彩色图像
光谱图像	|fi（X，Y）| i=1，2…m	遥感图像，m=6~8或更大
立体图像	fl（X，Y），fr（X，Y）	左L右R视点得到同物体的图像对
动态图像	|ft（X，Y）| t=t1，t2…tr.	动态图像，动画制做等

图像的向量表示

按行的顺序排列像素，使图像下一行第一个像素紧接上一行最后一个像素，图像可以表示成1×（m*n）的列图像向量f。这种表示方法的优点在于可以直接利用向量分析的有关理论和方法。

\begin{equation}
f=\left[f_{0,} f_{1, \cdots} f_{m-1}\right]^{T}
\end{equation}

图像的统计性表示

• 把图像作为一个随机向量
• 用密度函数来表示（或用分布函数来表示）
• 用统计特征参数来表示，如期望、方差、协方差等

遥感图像数据在很大程度上可以看做是随机变量
单幅的图像可以看做是自然界波谱总体的一个样本

单波段图像的统计特征

基本的统计特征

反映像素值平均信息的统计参数

• 均值：像素值的算术平均值，反映的是图像中地物的平均反射强度，大小由图像中的主体地物的波谱信息决定。
• 中值：指图像所有灰度级按高低顺序排列后处于中间的值，当灰度级数为偶数时，则取中间两灰度值的平均值。一般遥感图像的灰度级都是连续变化的，因而大多数情况下，中值可通过最大灰度值和最小灰度值来计算
• 众数：图像中出现次数最多的灰度值，反映了图像中分布较广的地物的能量。

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \bar{f}=\frac{\sum_{j=0}^{m-1} \sum_{i=0}^{n-1} f(i, j)}{m n} \
f_{\text {med }}(i, j) &=\frac{f_{\max }(i, j)+f_{\min }(i, j)}{2}
\end{aligned}
\end{equation}

反映像素值变化信息的统计参数

• 方差：方差是像素值与平均值差异的平方和，表示像素值的离散程度，用来衡量图像的信息量大小。
• 变差：变差是像素最大值与最小值的差。变差反映灰度值的变化程度，间接地反映了图像的信息量。
• 反差：反差反映图像的显示效果和可分辨性，可用像素值的最大值/最小值、最大值一最小值、标准差等来表示。反差小，地物之间的可分辨性小。因此，图像处理的一个基本目的是提高图像的反差。

\begin{equation}
\begin{array}{c}
\qquad_{\sigma^{2}}=\frac{\sum_{j=0}^{M-1} \sum_{i=0}^{N-1}[f(i, j)-\bar{f}]^{2}}{M N} \
f_{\text {range }}(i, j)=f_{\max }(i, j)-f_{\min }(i, j) \
C_{1}=f_{\max } / f_{\min } \
C_{2}=f_{\text {range }} \
C_{3}=\sigma
\end{array}
\end{equation}

对比度
图像对比度是一个单波段图像中明暗区域最亮的白和最暗的黑之间不同灰度级的测量，指一幅图像灰度反差的大小，常用来表述图像灰度值的总体变化情况。
对比度高，图像看起来比较清晰。反之，图像则比较模糊。
对比度可用图像方差、最大值与最小值之差，最大值与最小值之比来表示，或用对比度公式来计算。常用的表示方式如下。

相对亮度对比度

\begin{equation}
C=\frac{L_{\max }-L_{\min }}{L_{\max }+L_{\min }}
\end{equation}

灰阶水平对比度

\begin{equation}
C=\frac{L_{\max }-L_{\min }+1}{L_{d}}
\end{equation}

\begin{equation}
C=\sum d(i, j)^{2} p(i, j)
\end{equation}

直方图：图像灰度值的概率密度函数的离散化图形

直方图的性质：

• 反映了图像中的灰度分布规律
• 任何图像都有唯一的直方图与之对应，但不同的图像可以有相同的直方图。
• 如果一幅图像仅包括两个不相连通的区域，并且每个区域的直方图己知，则整幅图像的直方图是这两个区域的直方图之和。
• 由于遥感图像数据的随机性，在图像像素数足够多且地物类型差异不是非常悬殊的情况下，遥感图像数据服从或接近于正态分布

根据直方图的形态可以大致推断图像的反差

累积直方图：以横轴表示灰度级，以纵轴表示每一灰度级及其以下灰度级所具有的像素数或此像素数占总像素数的比值，做出的直方图

\begin{equation}
I(i)=\sum_{j=0}^{i} \frac{n_{j}}{N} \quad(i=0,1, \cdots, L-1)
\text { 式中， } I(i) \text { 为概率密度分布 } ; i \text { 为灰度级 } ; \quad n_{j} \text { 和 } N \text { 的含义同前。 }
\end{equation}

基于直方图的统计参数

令 z 为灰度级的随机变量 (z=f(x, y), f 为图像), H(Zi)为对应的直方图，取值区间为(0,1]

1. 矩
   定义关于 z 均值的第 n 阶矩为

\begin{equation}
\mu_{n}(z)=\sum_{i=0}^{L-1}\left(z_{i}-m\right)^{n} H\left(z_{i}\right)
\end{equation}

式中, m 是 z 的均值:

\begin{equation}
m=\sum_{i=0}^{L-1} z_{i} H\left(z_{i}\right)
\end{equation}

2. 纹理指标

1. 纹理的一致性

\begin{equation}
U=\sum H^{2}\left(z_{i}\right)
\end{equation}

2. 纹理的可变性

\begin{equation}
e=-\sum I\left(z_{i}\right) \log {2} H\left(z{i}\right)
\end{equation}

如果图像中没有变化，那么图像的 e 为 0 。

3. 互信息 互信息 (mutual information) 是信息理论中的一个基本概念，用于描述两个系统之间的相 关性，或者是一个系统中包含另一个系统的信息量，其公式为

\begin{equation}
I(A, B)=H(A)+H(B)-H(A, B)=H(A)-H(A \mid B)=H(B)-H(B \mid A)
\end{equation}

式中, H(A) 和 H(B) 分别是系统 A 和 B 的嫡; H(A, B) 是它们的联合嫡; H(A \mid B) 和 H(B \mid A)
分别表示已知系统 B 时 A 的条件嫡和已知系统 A 时 B 的条件嫡。在图像处理中，互信息主要
用于图像的匹配。

多波段图像的统计特征

协方差和相关系数是两个基本的统计量，表明了两个波段图像之间的关系

利用图像波段之间的协方差，可以实现图像的压缩处理（如K-L变换方法）。利用波段之间的相关性，可以提取特定图像信息，对图像信息进行复原。

协方差系数

\begin{equation}
\text { 设 } f(i, j) \text { 和 } g(i, j) \text { 是大小为 } M \times N \text { 的两个波段的图像，则两个波段的协方差 } S_{g f} \text { 为 }
S_{g f}=S_{f g}=\frac{1}{M N} \sum_{j=0}^{M-1} \sum_{i=0}^{N-1}[f(i, j)-\bar{f}][g(i, j)-\bar{g}]
\text { 式中, } \bar{f} \text { 和 } \bar{g} \text { 分别为图像 } f(i, j) \text { 和 } g(i, j) \text { 的均值。 }
\text { 将 } K \text { 个波段间的协方差排列在一起所组成的矩阵称为波段的协方差矩阵 } \sum \text { ，即 }
\end{equation}

\begin{equation}
\Sigma=\left[\begin{array}{cccc}
S_{11} & S_{12} & \ldots & S_{1 K} \
S_{21} & S_{22} & \ldots & S_{2 K} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
S_{K 1} & S_{K 2} & \ldots & S_{K K}
\end{array}\right]
\end{equation}

相关系数

线性相关系数的定义为

\begin{equation}
r_{f g}=\frac{S_{f g}}{\sigma_{f f} \sigma_{g g}}
\text { 式中， } \sigma_{f f} \text { 和 } \sigma_{g g} \text { 分别为图像 } f(i, j) \text { 和 } g(i, j) \text { 的标准差 }
\text { 将 } K \text { 个波段间的相关系数排列在一起组成的矩阵称为相关系数矩阵 } r \text { , 即 }
\boldsymbol{r}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & r_{12} & \ldots & r_{1 K} \
r_{21} & 1 & \ldots & r_{2 K} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
r_{K 1} & r_{K 2} & \ldots & 1
\end{array}\right]
\end{equation}

设HQ (i) 和 HD (i) 分别为两幅图像某一特征的直方图，则图像间的匹配程度P(Q,D)可借助直方图相交来实现，即

\begin{equation}
P(Q, D)=\frac{\sum_{i=0}^{L-1} \min \left[H_{Q}(i), H_{D}(i)\right]}{\sum_{i=0}^{L-1} H_{Q}(i)}
\text { 直方图间的距离可使用一般的欧氏距离函数 } M_{\mathrm{E}}(Q, D) \text { 来衡量: }
M_{\mathrm{E}}(Q, D)=\sqrt{\sum_{i=0}^{L-1}\left[H_{Q}(i)-H_{D}(i)\right]^{2}}
\end{equation}

像素的空间关系

窗口和邻域

对于图像中的任一像素（x,y），以此为中心，按上下左右对称所设定的像素范围，称为窗口

窗口可为矩形或正方形，行列数为奇数，并按照行数×列数的方式来命名。例如，3×3窗口，5×5窗口等。3×3表示由3行和3列像素构成的范围。

中心像素周围的像素称为该像素的邻域。邻域按与中心像素不同方向上相邻的像素的数量来命名

像素间的空间关系

距离：像素之间基本关系是距离

距离计算方式：
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text{欧式距离} D_{E}(p, q)=\left[(x-s)^{2}+(y-t)^{2}\right]^{1 / 2} \
\text{城区距离} D_{4}(p, q)=|x-s|+|y-t| \
\text{棋盘距离} D_{8}(p, q)=\max (|x-s|,|y-t|)
\end{array}
\end{equation}

• 邻域：对于任意两个像素p和q，如果q与p在空间上是相邻的（上下左右四个方向或增加对角的八个方向上），或者在到的指定距离内，则认为q在p的邻域。
• 梯度：像素的梯度为相邻像素的差异，用一阶微分计算梯度。指定的邻域不同，计算结果也不相同。
• 邻接性：对于两个像素p和q，如果q在p的邻域，那么q与p满足邻接性关系。
• 连通性：如果两个像素之间存在一条路径，那么，这两个像素是连通的。（在邻接性基础上，像素值要是相似的）
• 边：一个像素与其直接邻域的局部形式，具有大小和方向。边用图像的梯度来计算，其方向与梯度的方向垂直。
• 区域：外部是边，内部是彼此邻接而且连通的像素集合，在图像分割中，区域就是分割产生的相对独立的图斑

邻域的定义影响着像素的连通性，进而影响区域的标识

卷积

卷积是空间域上针对特定窗口进行的运算，是图像平滑、锐化中使用的基本计算方法

滤波

滤波是从含有干扰的接收信号中提取有用信号的一种技术。

狭义：滤波是改变信号中各个频率分量的相对大小、或者分离出来加以抑制、甚至全部滤除某些频率分量的过程。
广义：滤波是把某种信号处理成为另一种信号的过程。

纹理

纹理通常被定义为图像的某种局部性质，或是对局部区域中像素之间关系的一种度量。

描述纹理的性质有：均匀性(uniformity)、对比度(contrast)、密度(density)、粗细度(coarseness)、粗糙度(roughness)、规律性(regularity)、线性度(linearity)、定向性(directionality)、方向性(direction)、频率(frequency)和相位(phase)。而常用的特性主要包括粗细度、方向性、对比度这三种性质。

纹理特征用来对纹理的性质进行定量描述。
传统的纹理特征描述方法则主要包括统计方法和结构方法两类。

统计方法是目前研究较多、较成熟、占有主导地位的一种方法，它利用图像的统计特性求出特征值，实现对纹理特征的描述。主要包括自相关函数、灰度共生矩阵、灰度级行程长、滤波模板、随机模型(Markov随机场模型、Gibbs随机场模型）、分形模型等方法。
结构方法只适用于规则性较强的人工纹理，在遥感图像处理中的应用受到很大程度的限制。

空间自相关

粗糙度是纹理的一个重要特征。空间自相关函数可用来对纹理的粗糙程度进行描述

对于图像f,其自相关函数r定义为

\begin{equation}
r(x, y)=\frac{\sum_{j=0}^{m-1} \sum_{i=0}^{n-1} f(i, j) f(i+x, j+y)}{\sum_{j=0}^{m-1} \sum_{i=0}^{n-1} f(i, j)^{2}}
\end{equation}

x和y分别为在x和y方向上移动的步长，距离d=√(x^2+y^2 )。粗纹理的自相关函数随d的变化比较缓慢，细纹理则变化比较快。如果d固定，那么，粗纹理具有较高的自相关函数值。
图像的识别应用：
计算图像的自相关函数，并与典型地物的自相关函数进行比较，如果相近，则归于一类

共生矩阵

灰度共生矩阵(GLCM）描述了图像中灰度为Ik的像素从（i,j）沿指定方向和距离移动到(i’,j’)处的灰度为Ie的概率。通过统计图像中的所有像元，可以描述灰度的分布。应用表明，GLCM是性能很好的方法，不但适用于纹理识别，而且用于图像分割时的效果也很好。

图像特征

图像特征(feature)是图像的测度，是图像的像素具有的属性值的概括，从不同的角度描述了图像的性质。
特征的值是计算或提取的图像像素值，特征的名称是这些值的含义或定义。
基本的图像特征包括灰度级、梯度、颜色、纹理等。
遥感图像的波段是最基本的原始图像特征。加、减、乘、除等波段运算，NDVI，NDWI等

特征提取是针对特定的工作目的，使用一组算法基于图像的原生特征计算或构造新特征的过程。
特征选择是按照某些原则从众多候选特征中挑选出有效特征的过程，其目的是提高特征的质量、降低数据冗余、提高图像处理和分析的效率。特点：可分性、可靠性、独立性、数量少

1. 光谱特征
   图像的光谱特征描述了单个像素随波长变化而具有的幅度值，包括图像的灰度值、颜色和频谱等。直方图的形状为描述图像的特征提供了线索。
   相关的指标包括：图像的波段及其波段组合、RGB颜色、HSI颜色、K·L变换结果、K-T变换结果、梯度等。变换系数可以看成用于标记一个特定亮度模式和图像区域的一致性程度。傅里叶变换系数（频率域图像）也可以作为特征。
2. 几何特征
   几何特征是分割后的图斑的几何信息的描述。利用分割方法对图像进行分割后，可以对分割结果（图斑）进行形态描述，这些描述即几何特征。包括：大小、面积、周长、曲率、长度、圆度等。描述几何关系的拓扑参数，如岛、洞、连接数也属于此。
3. 结构特征
   结构特征反映了对象之间的联系，通过图像的纹理来描述，相关的指标包括傅里叶频谱、自相关函数、共生矩阵等以及由此产生的多个特征指标。

遥感数字图像处理在三个视角上进行，每个视角构成了一个数学空间。
1.图像空间
图像本身，具有二维坐标，是数字的直观表述。由像素构成，像素值可以是特定的波段（单色）或多个波段彩色合成、变换后的结果。图像空间便于表达不同像素在几何上或地理上的空间关系，如近邻、聚集、连通关系，便于进行视觉对比。
2.光谱空间：表达了波长（或波段）与像素值（原始DN值或反射率等）之间的关系。光谱空间中，横坐标是波长或波段，纵坐标为像素值。
3.特征空间：任意2个或多个特征所构成的像素空间即为特征空间，用来表达像素与特征的关系。特征空间的每个轴为一个特征，空间内的点为像素。

遥感数字图像处理的对象

• 像素：像素是图像的基本构成，也是图像处理的基本单位。像素表达了个体信息
• 结构：像素间的关系。纹理特征
• 图斑：图斑表达了相对独立的像素集合的信息，即区域信息；图斑是相对独立的具
  有相同或相似特征的像素集合（区域）。
• 图像：表达了含有特定主体信息的整体。

思考题

1. 遥感数字图像有哪些表示方式？
2. 单波段的统计特征有哪些？常用的多波段统计特征有哪些？
3. 图像的协方差矩阵和相关矩阵有什么区别
4. 图像的直方图的性质有哪些？
5. 窗口和邻域的区别？
6. 什么是卷积、滤波？
7. 什么是纹理？描述纹理特征的方法有哪些？其中较为常用的有哪些？
8. 什么是图像特征？特征提取和特征选择的区别是什么？